量子纠缠的早期视角

EPR佯谬

一个最经典的纠缠态的例子就是：在计算基矢 (Computational basis) 中，如果对于一个两个量子比特的系统（包含了两个子系统 Alice 和 Bob），总状态是：

$$ \ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\ket{1} + \ket{1}\ket{0}) $$

其中 $\ket{0}\ket{1}$ 表示一个复合系统，等价于 $\ket{0} \otimes \ket{1}$，左边代表系统 I 的状态，右边表示系统 II 的状态。

那么对于这个系统，如果测量到 A 系统的状态是 $\ket{0}$，那么 B 系统的状态就是 $\ket{1}$；另一种情况也是一样的，这个形式与式（8）具有相似之处。

所谓“纠缠”就是：对一个系统的观测结果会瞬间影响另一个系统的状态，而且这种影响是非局域性的（无论两个系统相距多远），这就像一种“幽灵般的超距作用”。

对于纠缠这个概念，最早的启发来自 Einstein 与其合作者在 1935 年发表的论文：

“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”
—— 量子力学中对物理现实的描述是完整的吗？

他们认为量子力学的表述是不完备的，并提出了一个纠缠系统的思考实验。他们首先定义了“物理现实中的元素”（Elements of Physical Reality）：

定义：
如果我们可以在不干扰系统的前提下，准确预测该系统中某一物理量的值，那么就存在一个物理现实的元素对应于这个物理量。

然后他们将这个标准应用到一个复合量子系统：两个相距很远的粒子（编号为 1 和 2），其状态由如下纠缠波函数描述：

$$ \psi(x_1, x_2, p_1, p_2) = \delta(x_1 - x_2 - L)\delta(p_1 + p_2) $$

其中 $\delta$ 并不是真正的 Dirac delta 函数，而是一个归一化的尖峰函数；$L$ 是一个相对于粒子间相互作用而言非常大的距离。

这个波函数的物理意义是：

💡 注：你也可以在这里插入一个 delta 函数图像来辅助理解。

对于这个状态来说，我们对单个粒子的状态（位置或动量）是一无所知的；我们只知道两个粒子之间的差值（距离、动量和）可以确定。

如果我们测量粒子 1 的位置 $x_1$，我们可以准确预测粒子 2 的位置：$x_2 = x_1 - L$。
根据 EPR 的论点：由于两个粒子此时不再相互作用，粒子 1 的测量不会干扰粒子 2，因此 $x_2$ 对应着一个物理现实元素。
同理，如果我们测量粒子 1 的动量 $p_1$，就能预测粒子 2 的动量：$p_2 = -p_1$，因此 $p_2$ 也对应一个物理现实元素。

但是，根据量子力学的基本原理（不确定性原理）：

$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

当粒子的位置被精确测量（$\Delta x = 0$）时，其动量的测量精度就必须变差（$\Delta p \to \infty$），所以不能同时确定位置与动量。

因此，EPR 论文指出：我们从测量粒子 1 就可以同时“知道”粒子 2 的位置和动量，这与量子力学的不确定性原理矛盾。

🧠 结论：这说明量子力学对物理现实的描述是不完备的。

EPR 因此推测：存在某些“隐藏变量”（目前未知），使得这些物理量实际上是可以同时确定的。这就是“隐变量理论”（Hidden Variables Theory）的雏形。论文并未给出这种理论的构造，但为后来的 Bell 不等式与实验验证奠定了基础。

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