Band Structure Theory
拓扑物态中，主要研究的是对于不同结构（具有不同对称性的材料）的物体，其内部电子的能带结构与拓扑之间的关系。因此，物体中的电子的能级就显得尤为重要了。
首先，固体中的电子波函数遵循量子力学且受晶格周期性的影响（对称性也有）。
电子的量子力学：
$$ i \hbar \frac { \partial \Psi } { \partial t } = H \Psi $$其中 $\Psi$是电子的波函数，H是电子的哈密顿量（能量函数）。
$$ H = \frac{p^2}{2m} + V(x) $$其中p为电子的动量，V(x)为电子在环境中所受的势能。
电子的波函数为 $\Psi(x,t)$ ,需要注意以下几点：
- 波函数是一个Complex Number。
- H是Hermitian的（$H^{\dagger} = H = \left( (H)^{T} \right)^{*}$）
- $| \Psi | ^ { 2 } = \Psi ^ { * } \Psi \propto n _ { e }$（$n_e$ 表示电子的密度）
- 如果有N个电子，这N个电子的系统的波函数：$\Psi_N = \psi_1 \otimes \psi_2 \otimes \psi_3 \otimes \cdots \otimes \psi_N$，并且其中任意两个波函数之间都是正交的（$\langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{ij}$）—这是由Pauli不相容原则保证的（Pauli 不相容原则：不可能存在两个处于相同状态的电子。）
如果把H看成矩阵的话，$\psi_n$是H的特征值为En的特征向量，$E_n$是H的本征值。
Tight Binding Model
如果将固体内的电子当成主体的话，近自由电子模型将电子看作在整个晶格中自由奔跑的平面波。
$$ \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R}} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R}} \phi(\mathbf{r} - \mathbf{R}) $$其中 $e^{i\mathbf{k\cdot R}}$是电子在原子间的周期性运动。这个周期性运动是由晶格的平移对称性保证的（平移对称性使得动量守恒，所以电子的波函数在原子间像一个自由的平面波， $p = \hbar k$，即波矢不变）。
那么电子在原子附近(在某一个原子中)的运动如何表达呢？ $\phi$
单原子附近有许多离散的轨道（如1s,2p等），TBM（Tight binding mode）假设电子在原子轨道内并不动，但是它有可能跳跃到相邻的轨道内。
$$ \left\{ \begin{array}{l} \langle \psi_a | \psi_b \rangle = \delta_{ab} \\ \sum\limits_a | \psi_a \rangle \langle \psi_a | = I \end{array} \right. $$$$ |\psi\rangle = \sum_a c_a |\psi_a\rangle $$$$ H = \sum_{ab} H_{ab} |a\rangle\langle b| $$其中 $H_{ab} = \langle \psi_a | H | \psi_b \rangle$，表示H在这组基下的矩阵元。
Example：三角形的原子
$$ H = -t \left( |0\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 2| + |2\rangle\langle 0| \right) + \text{h.c.} $$前面这个-t（t是一个跳跃的系数，负号为了保证电子发生跳跃的时候，系统的能量降低。）这一项代表了，电子从1跳到0，0跳到2，2跳到1，顺时针的情况，那么后面的h.c代表的就是逆时针的跳跃可能性（为了保证H的厄米性）
其中 $\ket{0}\bra{1}$为什么代表了电子从1跳到0呢？，解释如下：
$$ |0\rangle\langle1|1\rangle = |0\rangle $$即输入是1，而输出的是0轨道，因此表示电子从1跳到0。
Bloch Theorem For Bulk Electrons
有了上面的TBM的基础之后，我们将记号变得紧凑一些。
在固体物理中，晶格是可以由原胞通过周期性平移得到的。
$(l,n)$表示在第n个原胞内的电子在轨道l上的波函数（这里表示的是1维晶格的情况，可以把这个拓展到3维的情况，kn–> $\mathbf{k\cdot R_n}$,其中 $R_n = p\mathbf{a}+q\mathbf{b}+r\mathbf{c}$, a,b,c代表构成晶格原胞的基矢量）
k表示电子在晶体中的动量，范围是 $[-\pi,\pi]$，这个范围在晶格的倒空间中表示一个布里渊区。
$$ H_{(l,m),(l',n)}= H_{(l,m-n),(l',0)} $$为什么这是成立的呢？因为晶格的周期性平移的特点，第二个参数m描述的是在第m个原胞上，所有的原胞在某种意义上等价。
$$ \sum_{l', m} H_{(l,n), (l',m)} \psi_{(l',m)} = E \psi_{(l,n)} $$$$ \psi_{(l,n)} = e^{ikn} u_l(k) $$$$ \sum_{l', m} H_{(l,n), (l',m)} e^{ik(m-n)} u_{l'}(k) = E(k) u_l(k) $$$$ \sum_{l'} \left[ \sum_{m} H_{(l,n), (l',m)} e^{ik(m-n)} \right] u_{l'}(k) = E(k) u_l(k) $$$$ H_{(l,n), (l',m)} = H_{(l, n-m), (l', 0)} $$$$ H(k)_{ll'} = \sum_{m} H_{(l,-m), (l',0)} e^{-ikm} $$$$ \sum_{l'} H(k)_{ll'} u_{l'}(k) = E(k) u_l(k) $$$$ H(k) u(k) = E(k) u(k) $$Example：SSH model
k.p Perturbation Theory
对于在倒空间的H(k)，如果只关心k = 0 附近的能量，或者Energy Gap（Energy Gap是定义在价带与导带之间的最小间隔）
$$ H(k) \approx \underbrace{H(k=0)}_{H_0(k)} + \underbrace{k H'(k=0) + \frac{k^2}{2} H''(k=0)}_{\text{Perturbation } V(k)} $$通过量子力学中的微扰论可以得到。
$$ E_1^{(n)} = \langle n | V(k) | n \rangle $$$$ E_{2}^{(n)}(k) = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle n | V | m \rangle|^{2}}{E_{0}^{(n)} - E_{0}^{(m)}} $$$$ E^{(n)}(k=0) \approx E_0^{(n)}(k=0) + \langle n | V(k=0) | n \rangle +\sum_{m \neq n} \frac{|\langle n | V | m \rangle|^{2}}{E_{0}^{(n)} - E_{0}^{(m)}} $$后面两项分别是1阶和2阶微扰。
$$ \mathbf{v}_g(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k}) $$$$ \left( \frac{1}{m^*} \right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} $$$$ V_n = \partial_k E^{(n)}(k) \big|_{k=0} = \langle n | H'(k=0) | n \rangle $$$$ m_n^{-1} = \partial_k^2 E^{(n)}(k) \big|_{k=0} = \langle n | H''(k=0) | n \rangle + 2 \sum_{m \neq n} \frac{|\langle n | H' | m \rangle|^2}{E_0^{(n)} - E_0^{(m)}} $$