1.固体中的电子：#

由于固体内部的周期性结构，相当于给电子施加了一个周期性的边界条件，根据量子力学，其空间波函数由下面的平面波表示：

右边的第一项表示由于固体中的周期性边界条件，电子在固体内像自由粒子一样 以波矢k沿着晶体运动，而第二项表示电子在固体中一个晶格内（周期）的行为。

电子除了空间分布，还有其自身的运动（自旋s = 1/2），电子可以处于自旋向上或者自旋向下。

固体内有许多处于不同状态的电子（$E_k = \frac{\hbar^2 k ^2}{2m}$），根据Pauli不相容原理：任何的两个电子不能够处于完全相同的量子态（空间+自旋）。

为了简化，先不考虑电子的自旋，那么每一个能级Ek上要么只有一个电子，要么就没有电子，那么可以导出Fermi-Dirac 统计（在能级E处，电子的占据概率是多少）（差一个推导）：

其中 $E_F$表示电子的Fermi Energy，表示在温度T=0时，电子占据概率为1的最大占据能量，如下图：

因为电子的波矢是一个矢量，并且以相同长度波矢运动的电子处于同一个球面上：

在T等于0时，最大半径的球面就是Fermi面，此时低能级依次全部被占据，当温度升高时，由于热激发，开始有电子从跳跃到更高的能级（上面的f（E）图也能很好的表示这个特征）。

2.Fermi Surface 上的两个电子#

两个电子（速度为$v_F \sim10^6\mathrm{~m/s})$）经过费米面，此时费米海已经填满了

首先，两个电子之间有column排斥作用（就好像两个电子之间存在一个弹簧，两个电子靠的很近就会排斥，拉的太远会吸引），它们存在如下的Column作用力：

所以费米面应该是排斥这个电子的，但是由于电子在晶格中运动，晶格由正殿的离子实组成，这当电子1路过的时候，周围的正离子都会靠近这个电子，于是晶格发生了一定的形状变化，导致了局域的正电荷密度增加。

电子2随后经过了这个区域，就被之前电子1吸引的正电荷所吸引，但是由于电子的速度极快，最后看起来电子2被电子1吸引。

有一个形象的比喻：快电子利用笨重的正离子背景做了一个“局部的正电荷陷阱”，并在自己离开后坑了后面来的电子一把。

后果是：两个电子在费米面形成Cooper-Pair，两个电子之间的吸引是由于电子声子耦合超过了两个电子之间的Column 相互作用

3.Cooper-Pair：#

Cooper 在1956年证明，在费米海背景下，只要在 Fermi 面附近存在微弱的吸引相互作用，两个电子就能形成能量低于 $2E_F$ 的束缚态（Cooper 对）。

这意味着我们原本认为稳固的费米海基态其实是不稳定的（Cooper Instability）。因为系统总是倾向于处于能量最低的状态，既然形成配对可以降低能量，那么费米面附近的电子就会纷纷两两配对，发生相变。

这种 Cooper 对通常具有以下特征：

• 动量相反 $(\mathbf{k}, -\mathbf{k})$：为了保证质心动量为零，利用整个费米面的相空间。
• 自旋相反 $(\uparrow, \downarrow)$：利用单态（Singlet）配对满足交换反对称性。

那么 BCS 理论（1957）在此基础上，进一步计算了在电子电子之间吸引作用下，这个电子气体系统的能谱，并且发现打开了一个Gap。

4.简化模型#

首先看一个简化模型，假设两个电子之间的相互作用为：

上面这个作用势表明，对于两个电子k电子，q电子，而言，当它们的能量处于这个范围内时，感受到的势是-V。

并且假设这个Cooper pair 的波函数为：

其中上式右边的第一项中的就包含了动量之和为0：

因为动量之和为0，所以 $\hbar k_1+\hbar k_2 = 0$,于是令k1 = k ，则k2 = -k ,于是两个电子的空间波函数项为：

其中对于所有的波矢线性叠加，表示将所有的动量可能都考虑进去，$g_k$为叠加因子（或者说，现在还不知道Cooper-Pair 的波函数是什么？那么我们先用我们已知的平面波基底对其展开，然后代入薛定谔方程中求解系数）

然后代入薛定谔方程中：

其中H_0(r1)与H_0(r2)分别代表了两个自由电子的动能算符：

因为有：

于是假设 $\hbar^2 k ^2/2m = \epsilon_k$ ,对于2电子的计算一样，于是就有：

然后两边乘以 $e^{-i\mathbf{q(r_1-r_2)}}$并对整个空间积分（位置空间）：

可以写为：

BCS理论表明，电子之间的吸引相互作用会导致一种能量更低的Cooper Pair的状态，那么问题是：既然这种吸引相互作用在室温甚至更高温度都存在，或者说这是一种结构上的效果，那么为什么在室温或者其他温度，Cooper-Pair 很难形成？

原因是：在室温下热涨落太剧烈了，在两个电子结合形成Cooper对之后，能量会相比于之前降低一点，但是这个Gap很小，在室温下，环境温度提供能量，导致电子的热涨落太剧烈，使得电子之间的Pair 断开。

1. 对自由能求极值#

对于自由能取极值有两种方式得到两个方程：

1. GL第一方程（$\frac{\partial F}{\partial \psi^*} = 0$）： $$$$

\alpha\psi+\beta|\psi|^2\psi+\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla-\frac{2eA}{c})^2\psi=0

j=\frac{2e}{m}\mathrm{Re}\left{\psi^*(-i\hbar\nabla-\frac{2eA}{c})\psi\right}

\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\alpha\psi+\beta\psi^3=0

\psi_0^2=\frac{-\alpha}{\beta}=\frac{|\alpha|}{\beta}

\psi(x) = f(x)\psi_0

1
\frac{-\hbar^2}{2m}\psi_0\frac{d^2f}{dx^2}+\alpha(\psi_0f)+\beta(\psi_0f)^3=0

-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}f}{dx^{2}} - |\alpha|f + \beta\psi_{0}^{2}f^{3} = 0

-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}f}{dx^{2}} - |\alpha|f + |\alpha|f^{3} = 0

\frac{\hbar^{2}}{2m|\alpha|} \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = f - f^{3}

1
\xi^2(T)=\frac{\hbar^2}{2m|\alpha|}

1
\xi^2\frac{d^2f}{dx^2}+f-f^3=0

f(x)\approx\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right)

j=\frac{2e}{m}\mathrm{Re}\left{\psi^*(-i\hbar\nabla-\frac{2eA}{c})\psi\right}

\mathbf{j}= - \frac{4 e^2}{mc}|\psi_0|^2\mathbf{A}

\nabla \times \mathbf{H} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{H}) = \frac{4\pi}{c}\nabla \times \mathbf{j}

-\nabla^2\mathbf{H} = - \frac{16\pi e^2}{mc^2}|\psi_0|^2(\nabla \times \mathbf{A})=- \frac{16\pi e^2}{mc^2}|\psi_0|^2\mathbf{H}

\mathbf{H} = \exp(-\frac{x}{\lambda}),\quad\lambda(T) =\sqrt{\frac{mc^2}{16\pi e^2|\psi_0|^2}}

\lambda(T) =\sqrt{\frac{mc^2\beta}{16\pi e^2|\alpha|}}

\kappa = \frac{\lambda}{\xi}

E_S = E_C-E_B

\mathbf{j_s}=\frac{2e}{m}\mathrm{Re}\left{\psi^*(-i\hbar\nabla-\frac{2e\mathbf{A}}{c})\psi\right}

\mathbf{j_s}= - \frac{4 e^2}{mc}|\psi_0|^2\mathbf{A}

\nabla \psi = (\nabla{|\psi|})e^{i\phi} +|\psi|(i\nabla\phi)e^{i\phi}

\mathrm{Re}\left{\psi^*(-i\hbar\nabla-\frac{2e\mathbf{A}}{c})\psi\right} = \ \mathrm{Re}\left{-i\hbar |\psi|\nabla{|\psi|}+\hbar|\psi|^2\nabla\phi - \frac{2e\mathbf{A}}{c}|\psi|\right}

\mathbf{j_s}= \frac{2e}{m}(\hbar\nabla\phi- \frac{2e\mathbf{A}}{c})|\psi|^2

\mathbf{j_s} = n_s (2e) \mathbf{v_s} = |\psi|^2(2e)\mathbf{v_s}

\mathbf{v_s} =\frac{1}{m}(\hbar\nabla\phi- \frac{2e\mathbf{A}}{c})

\psi(\mathbf{r}) = |\psi(\mathbf{r})| e^{i\phi(\mathbf{r})}

\oint_C \nabla \phi \cdot d\mathbf{l} = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

\nabla \phi = \frac{m}{\hbar}\mathbf{v}_s + \frac{2e}{\hbar c}\mathbf{A}

\oint_C \nabla \phi \cdot d\mathbf{l} = \frac{2e}{\hbar c} \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}

\oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = \Phi

\Phi = n \left( \frac{2\pi \hbar c}{2e} \right) = n \left( \frac{hc}{2e} \right) = n\Phi_0